 Методика решения задач молекулярной физики
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Основным уравнением, характеризующим состояние идеального газа, является уравнение Менделеева–Клапейрона. Составив это уравнение для каждого из рассматриваемых состояний, газа и записав дополнительные условия в виде формул, можно сравнительно легко решить почти любую задачу на газы элементарного курса физики.
Однако этот метод решения в ряде случаев усложняет решение и приводит к лишним математическим выкладкам, мало поясняющим физическую сущность явления.
Учитывая это, задачи на расчет параметров состояния газов можно разделить на две основные группы.
К первой следует отнести такие задачи, где даны два или несколько состояний газа, в которых его масса остается неизменной (m = const) и к которым,
следовательно, применимо уравнение объединенного газового закона:
Вторую группу составляют задачи, в условии которых дана масса газа или рассматриваются такие процессы, в которых масса газа изменяется. При решении этих задач пользоваться объединенным газовым законом нецелесообразно, более удобно применять уравнение Менделеева — Клапейрона:
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Решение задач на нагревание и работу газа при изохорическом и изобарическом процессе основано на первом начале термодинамики и формулах:
Если по условию задачи даны два состояния газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для решения задачи можно рекомендовать следующую последовательность:
-
Прочитав условие задачи, нужно ясно представить, какой газ участвует в том или ином процессе, и убедиться, что при изменении параметров состояния газа его масса не меняется.
-
Сделать, если это возможно, схематический чертеж и, отметив каждое состояние газа, указать параметры р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из условия задачи, какой из этих трех параметров не меняется и какому газовому закону подчиняются переменные параметры.
В общем случае могут изменяться все три параметра р, V и Т.
-
Записать уравнение объединенного газового закона Клапейрона для двух данных состояний. Если какой-либо параметр остается неизменным, уравнение автоматически переходит в одно из трех уравнений:
закон Бойля —Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
В тех случаях, когда газ заключен в цилиндрический сосуд и объем газа меняется только за счет изменения высоты его столба  , но не сечения, уравнение Клапейрона нужно сразу записывать в виде:
-
Представить в развернутом виде параметры р1, V1, р2, V2 выразив их через заданные величины. Вполне естественно, что расшифровывать нужно только те параметры, которые заданы косвенно, но не те, что даны явно.
Особое внимание здесь следует обратить на определение давления. Чтобы его найти, часто приходится использовать закон Паскаля: провести нулевой уровень через границу, отделяющую газ от жидкости, и записать уравнение равновесия жидкости.
-
Записать математически все вспомогательные условия и решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
Если в задаче рассматривают процессы, связанные с изменением состояния двух или трех газов, отделенных друг от друга поршнями или входящих в состав смеси, то все указанные действия нужно проделать для каждого газа отдельно. ~
В задачах на газовые законы рекомендуется пользоваться только абсолютной температурой и сразу же переводить значения температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.
Если по условию задачи дано только одно состояние газа и требуется определить какой-либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа, то рекомендуется поступать так:
-
Установить, какие газы участвуют в рассматриваемых процессах.
-
Для каждого состояния каждого газа (если их несколько) составить уравнение Менделеева — Клапейрона.
Если дана смесь газов, то это уравнение записывают для каждого компонента. Связь между значениями давлений отдельных газов и результирующим давлением смеси устанавливается законом Дальтона.
-
Записать математически дополнительные условия задачи и решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.
В комбинированных задачах, где рассматривается движение сосуда с газом, уравнение газового состояния добавляют к уравнениям механики.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Решение задач термодинамики основано на уравнении закона сохранения и превращения энергии с учетом формул изменения внутренней энергии тел и некоторых уравнений механики. Умение правильно применять закон сохранения энергии к конкретным физическим процессам представляет основную трудность при решении задач на теплоту.
Особое внимание здесь нужно обратить на различие между количеством теплоты и изменением внутренней энергии и на выбор системы тел (или тела), для которой составляется основное уравнение.
Нередко возникают затруднения при числовых расчетах в задачах, связанных с превращением одного вида энергии в другой. Здесь нужно помнить, что в уравнении закона сохранения и превращения энергии (1):
все три величины колическтво теплоты Q, изменение внутренней энергии ΔU и работы А должны быть выражены в одних единицах.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы.
В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой.
Одни из тел, участвующих в теплообмене, при этом охлаждаются, другие — нагреваются. Согласно закону сохранения и превращения энергии (1) для тел, внутренняя энергия которых уменьшается, можно записать:
поскольку ни сами тела, ни над телами работу не совершают (А = 0).
Аналогично для тел, энергия которых возрастает, мы получим:
Из определения понятия количества теплоты и закона сохранения энергии как следствие вытекает:
Перенеся все члены в левую часть равенства, уравнение (3) представим в ином виде:
или короче:
Последнее уравнение является очевидным следствием первого начала термодинамики — в изолированной системе тел, где происходят только процессы теплопередачи, внутренняя энергия системы не изменяется и, следовательно, алгебраическая сумма изменений энергии отдельных тел равна нулю.
Уравнение (3) называют уравнением теплового баланса, оно обычно служит основным расчетным соотношением для всех задач первой группы.
Правила решения задач первой группы:
-
Прочитав условие задачи, нужно установить, у каких тел внутренняя энергия уменьшается, у каких — возрастает.
Особое внимание следует обращать на то, происходят ли в процессе теплообмена агрегатные превращения или нет.
-
Составить уравнения (2) для тел, энергия которых уменьшается, и (2') — для тел, энергия которых возрастает, и приравнять полученные суммы.
-
При записи уравнения теплового баланса в виде (3) нужно в выражении
для изменения внутренней энергии всегда вычитать из большей температуры тела меньшую и суммировать все члены арифметически, если же уравнение записывается в виде (3'), необходимо вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.
-
В ряде задач задается к.п.д. (η) — теплообмена; в этом случае его всегда нужно ставить сомножителем перед Qотд.
-------------------------------------------------------------------------------------------------- В задачах второй группы рассматривают явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия — изменение внутренней энергий одного тела вследствие совершенной им или над ним работы. Теплообмен между телами здесь, как правило, не учитывают.
Уравнение закона сохранения и превращения энергии в этом случае имеет вид:
Решение задач второй группы удобно проводить по следующей схеме:
-
Анализируя условие задачи, нужно прежде всего установить, у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения — работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом. Кроме того, следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т.е. действительно ли Q = 0.
-
Записать уравнение (4) для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учтя знак перед А и КПД ( η) рассматриваемого процесса. При записи уравнения (4) с учетом к.п.д. удобно воступать так. Если по смыслу задачи работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии одного из тел и по каким-либо, причинам лишь часть ее идет на совершение работы А, то
Если же из условия видно, что внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на увеличение U, то
-
Составив уравнение (4') или (4''), нужно найти выражение для А и ΔU.
Для А возможно одно из следующих соотношений:
Здесь F – сила, s – перемешение, N – мощность, τ – время выполнения работы,
W – энергия.
-
Для ΔU чаще всего достаточно использовать одну из формул:
Подставляя в исходное уравнение вместо А и ΔU их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины. Если в условиях задачи даются дополнительные условия, то к основному уравнению следует, как обычно, добавить вспомогательные.
-
Далее нужно выписать числовые значения известных величин, проверить число неизвестных в уравнениях и решить систему уравнений относительно искомой величины.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
в) Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие. В этих задачах рассматривают взаимодействие трех и более тел. В процессе такого взаимодействия к одному из тел подводится некоторое количество теплоты Q, в результате чего изменяется его внутренняя энергия и совершается работа.
Для решения этих задач надо составить полное уравнение закона сохранения и превращения энергии (1). Составление такого уравнения включает в себя приемы, описанные в пп. а-б. |
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Решая приведенные ниже задачи,
Вы сможете освоить основы молекулярной физики.
-
Воспользовавшись таблицей Менделеева, определите относительную молекулярную массу кислорода О2, метана СН4, сероводорода H2S.
-
Определите массу молекулы кислорода, метана и сероводорода.
-
Сколько молей содержится в 45 г воды?
-
Сколько молекул содержат 2 г водяного пара?
-------------------------------------------------------------------------------------
Уравнение Менделеева-Клапейрона
-
Какая масса воздуха требуется для наполнения камеры в шине автомобиля, если ее объем 12 л? Камеру накачивают при температуре 27°С до давления 2,2·105 Па.
-
Баллон емкостью 100 л содержит 5,76 кг кислорода. При какой температуре возникает опасность взрыва, если баллон выдерживает давление до 5·105 Па?
-
В сварочном цехе стоят 40 баллонов ацетилена (С2Н2) емкостью 40 дм3 каждый. Все они включены в общую магистраль. После 12 ч непрерывной работы давление во всех баллонах упало с 1,3·107 до 0,7·107 Па. Определите расход ацетилена, если температура в цехе оставалась неизменной и была равна 32°С.
-
Баллон содержит сжатый кислород при температуре 25°С и давлении 1,5·107 Па. В ходе газовой сварки израсходована половина кислорода. Определите, какое давление установится в баллоне, если температура газа снизилась до 15°С.
-
Воздушный шар, объем которого 600 м3, наполнен водородом при температуре 27°С и давлении 105 Па. Водород перед заполнением воздушного шара находился в газовых бомбах при давлении 4·106 Па и температуре 7°С. Каков объем каждой газовой бомбы, если их потребовалось 200 штук?
---------------------------------------------------------------------------------------------
Изопроцессы в газах
-
В баллоне емкостью 100 л находится газ под давлением 4,9·105 Па. Какой объем займет газ при нормальном атмосферном давлении (1,01·105 Па)? Его температура не меняется.
-
До какой температуры нужно изобарически охладить некоторую массу газа с начальной температурой 37°С, чтобы объем газа уменьшился при этом на одну четверть?
-
При температуре 5°С давление воздуха в баллоне равно 104 Па. При какой температуре давление в нем будет 2,6·104 Па?
-
Манометр на баллоне со сжатым кислородом показывал при температуре –3°С давление 1,8·106 Па, а при температуре 27°С давление 2·106 Па. Происходила ли утечка газа из баллона?
-
На рис.1 изображены две изобары: p 1 = const и p 2 = const. Какое давление больше?
-
5. В кислородной системе, которой оборудован самолет, имеется 2,8·10-3 м3 кислорода при давлении 2·107 Па. При максимальной высоте подъема летчик соединяет с помощью крана эту систему с пустым баллоном объемом 5·10-2 м3. Какое давление установится в ней? Процесс расширения газа происходит при постоянной температуре.
-
Давление в кабине космического корабля «Союз» при температуре 290 К равно 9,7·104 Па. Как изменится давление воздуха при повышении температуры на 8 К?
-
Почему баллоны со сжатыми газами (кислородом, водородом, ацетиленом) нельзя нагревать выше 35°С?
-
На графике (рис.2) показана зависимость давления некоторого газа от температуры. Как изменялся объем газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2? Его масса не менялась.
-
Для сварки металлов и их сплавов в инертных газах гелий поставляют в баллонах под давлением 1,5·107 Па. Определите концентрацию молекул гелия (число молекул в единице объема) в баллоне при температуре 27°С.
-
Современная техника позволяет создавать очень высокий вакуум, порядка 10-7 Па. Сколько молекул газа остается при таком вакууме в камере емкостью 5·10-5 м3 при температуре 27°С?
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Поверхностное натяжение жидкостей
1. При измерении поверхностного натяжения спирт поднялся в капиллярной трубке с диаметром канала 0,15 мм на высоту 7,6 см. Чему равно поверхностное натяжение спирта по результатам опыта? Плотность спирта 0,8·103 кг/м3.
2. В технике для смазки подшипников скольжения, работающих в условиях относительно небольших скоростей, применяется фитильная смазка: один конец фитиля опускается в масло, а по другому масло поступает на смазываемую поверхность (цапфу или шейку вала). Определите, на какую высоту может подняться масло по фитилю, если он сделан из ткани, диаметр капилляров которой 0,2 мм. Плотность масла 870 кг/м3, поверхностное натяжение 26·10-3 Н/м.
3. В сосуд с горячей водой опущена капиллярная трубка. Будет ли изменяться уровень воды в трубке при ее остывании?
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Твердое тело. Деформация. Прочность
1. Для повышения стойкости железобетонных конструкций к образованию трещин их изготовляют из напряженной арматуры: стальную проволоку каркаса сначала растягивают, а затем заливают бетоном. Объясните, почему железобетонные конструкции с напряженной арматурой обладают повышенной механической прочностью.
2. При изготовлении на заводе железобетонных конструкций стальную арматуру подвергают предварительному напряжению (растяжению) с помощью гидравлической установки. Стальные стержни длиной 6 м и диаметром 20 мм растягиваются на 2 мм. Определите силу, необходимую для этого, если модуль Юнга для, стали Е = 2,2·1011 Н/м2.
3. Плуг связан с трактором железной тягой, длина которой 1 м и поперечное сечение 10 см2. Определите удлинение тяги при пахоте, считая, что сопротивление почвы движению плуга равно 1,6·105 Н. Модуль Юнга для железа Е = 2·1011 Н/м2.
4. С помощью пресса, развивающего усилие в 1,5·107 Н, сжимают куб, из хромоникелевой стали с ребром 15 см. Определите модуль Юнга для этого сорта стали, если сжатие ребер куба составляет 0,5 мм.
5. Известно, что бетон хорошо выдерживает деформации сжатия, но плохо «работает» на растяжение. Как должна быть устроена железобетонная плита для междуэтажных перекрытий?
6. Вычислите диаметр стального стержня у крюка подъемного крана, рассчитанного на нагрузку в 8·104 Н, если необходимо обеспечить шестикратный запас прочности. Разрушающее напряжение (предел прочности) σпр = 108 Н/м2.
7. Какой наибольшей высоты может быть сложена кирпичная стена при условии, что напряжение в ее основании не должно превышать 8·105 Н/м2? Плотность кирпича ρ = 2400 кг/м3.
8. Башенный кран С-464 имеет грузоподъемность 5000 кг. Определите, с каким запасом прочности он работает, если его крюк подвешен на четырех стальных тросах, каждый из которых состоит из 300 проволок диаметром 0,4 мм. Предел прочности стали, из которой изготовлен трос, равен 9,8·108 Н/м2.
9. Строительная сталь марки Ст. 3 (мостовая) имеет предел прочности 4,5·108 Н/м2. Детали из этой стали должны работать с запасом прочности n = 3. Какое наибольшее напряжение растяжения можно допустить при этом условии?
10. Какой диаметр должны иметь канаты мостового крана грузоподъемностью 5000 кг, если запас прочности каната равен 3, а предел прочности 4·109 Н/м2? Задачу решите для случаев, когда у крана два каната и когда четыре.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Термодинамика. Расчет количества теплоты
1. В батарею водяного отопления поступает вода объемом 6·10-6 м3 в 1 с при температуре 80°С, а выходит из батареи при температуре 25°С. Какое количество теплоты получает отапливаемое помещение в течение суток?
2. Стальной резец массой 200 г нагрели до температуры 800°С и погрузили для закалки в воду, взятую при 20°С. Через некоторое время температура воды поднялась до 60°С. Какое количество теплоты было передано резцом воде?
3. Какое количество теплоты требуется для нагревания и расплавления 104 кг стального лома в мартеновской печи, если начальная его температура 20°С? Температура плавления стали 1500°С. Удельная теплота плавления стали 2,7·105 Дж/кг.
4. В плавильной печи за одну плавку получили 250 кг алюминия при температуре 660°С. Определите, на сколько изменилась внутренняя энергия алюминия, если его начальная температура была 20°С. Удельная теплота плавления алюминия 3,9·105 Дж/кг.
5. В электроплавильную печь загрузили 3 т стального лома при температуре 20°С. Какое количество электроэнергии требуется для расплавления стали, если КПД печи 95%?
6. На токарном станке обтачивается вал со скоростью резания 100 м/мин. Сила резания равна 2150 Н. Какое количество теплоты надо отводить из зоны резания ежеминутно, если на нагревание резца, детали и стружки идет 80% механической энергии шпинделя?
7. С одинаковой высоты упали два тела одинаковой массы — медное и железное. Какое из них при ударе нагреется до более высокой температуры?
8. Паровой молот массой 10 т свободно падает с высоты 2,5 м на железную болванку массой 250 кг. На нагревание болванки идет 30% количества теплоты, выделенной при ударе. Сколько раз должен упасть молот, чтобы температура болванки поднялась на 20 °С?
9. Тепловоз массой 3000 т, двигавшийся со скоростью 72 км/ч, остановлен тормозами. Какое количество теплоты выделилось при торможении?
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Термодинамика. Работа газа. КПД тепловой машины
1. Газ, занимавший объем V1 = 11 л при давлении 105 Па, был нзобарно нагрет от 20 до 100°С. Определите работу расширения газа.
2. Начальное состояние газа характеризуется параметрами p1 и V1. При каком расширении — изотермическом или изобарном — до объема V2 газ совершает большую работу?
3. 1 м3 воздуха при температуре 0°С находится в цилиндре при давлении 2·105 Па. Какая будет совершена работа при его изобарном нагревании на
10°С?
4. Какая масса водорода находится в цилиндре под поршнем, если при нагревании от температуры
T1 = 250 K до температуры Т2 = 680 К газ произвел работу А = 400 Дж?
Решение:
5. Кислород, взятый при температуре t0 = 27°С, изобарически сжали до объема в 5 раз меньше первоначального. Определите работу внешней силы сжимающей газ, если его масса m = 160 г.
6. Один моль газа при изобарическом расширении совершает работу А = 831 кДж. В исходном состоянии объем газа V1 = 3 м3, а температура Т1 = 300 К. Каковы параметры газа р2, V2, Т2 после расширения?
7. В вертикальном цилиндре с площадью основания S = 10 см2 находится газ при температуре 27°C. На высоте h = 25 см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на который поставлена гиря весом 20 Н. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на Δt = 100°C?
Атмосферное давление р0 = 105 Па. Трения в системе нет.
Решение:
8. При изобарическом нагревании от температуры t1 = 20°C до t2 = 50°C газ совершает работу
А = 2,5 кДж. Определите число молекул газа, участвующих в этом процессе.
Решение:
9. Пневматический молот работает за счет энергии сжатого воздуха. Почему наблюдается обмерзание молота снаружи при работе? Какова причина охлаждения?
10. Определите КПД цикла Карно, если температуры нагревателя и холодильника соответственно равны 200 и 15°С. На сколько нужно повысить температуру нагревателя, чтобы КПД цикла увеличился вдвое?
----------------------------------------------------------------------------------------------------
|
