10 класс

Материалы к зачету по теме "Функции. Уравнения. Неравенства"

Неравенства.
При решении неравенств обычно рекомендуют рассматривать неравенство в системе с неравенствами, определяющими область определения, входящих в неравенство функций (т.е. область допустимых значений или ОДЗ), и применять метод равносильных преобразований систем.

Ключевой момент в решении неравенства – преобразование его к виду, в котором левая часть представляет собой произведение каких-либо функций, а правая – равна нулю.
После такого преобразования применяют правило расщепления неравенств:

Неравенство

равносильно совокупности систем:

Неравенство

равносильно совокупности систем:

Неравенство

равносильно совокупности систем:

Неравенство

равносильно совокупности систем:

Таким образом, при применении правила расщепления неравенств необходимо сначала аккуратно выписать все случаи, когда это неравенство справедливо, т.е. выписать совокупность соответствующих систем неравенств, а затем решить каждую из этих систем и объединить в ответе полученные множества решений.

Аналогичное правило может быть сформулировано и для строгих неравенств.

Заметим, что при решении нестрогого неравенства в множество всех решений строгого неравенства включаются множество корней соответствующего уравнения.

В процессе решения может оказаться, что в левой части (подразумевается, что правая часть равна нулю) число сомножителей бывает довольно велико, а значит, непосредственное применение правил расщепления приводит к трудоемкому решению нескольких систем.
В такой ситуации, часто, оказывается эффективным применение метода интервалов.

Метод интервалов применяют для неравенств вида f(x) > 0 (вместо знака > могут быть знаки ). На числовой оси, внутри области допустимых значений, выделяют интервалы, на которых функция f(x) имеет постоянный знак. Часто концевыми точками таких интервалов являются точки, в которых f(x) = 0 или не определена, т.е. задача о выделении интервалов знакопостоянства сводится в этом случае к решению соответствующих уравнений. Затем определяют знаки на этих интервалах, т.е. у каждого из получившихся интервалов ставят знак плюс или минус в зависимости от того какой знак имеет f(x) на данном интервале, изучают концевые точки и выписывают ответ.

Рассмотрим важный частный случай применения метода интервалов для алгебраических неравенств.

Сформулируем правило расстановки знаков при решении неравенств вида

На координатную ось наносят числа x₁, x₂, ..., x_n, которые разбивают её на интервалы знакопостоянства функции, стоящей в левой части неравенства. В промежутке справа от x_n ставят знак “+”, затем, двигаясь справа налево, при переходе через точку x_i меняют знак, т.е. левее x_n ставят знак ”–”, затем “+” и т.д.
Множество решений неравенства будет объединением интервалов, в каждом из которых поставлен знак “+”.
Аналогично может быть описано решение неравенств, в которых вместо знака > стоят знаки .

При решении неравенств вида

правило расстановки знаков изменяется в том смысле, что, двигаясь, справа налево, при переходе через точку x_i меняют знак, если k_i – нечетное, и не меняют знак, если k_i четное. После этого множество решений определяют, как и в предыдущем случае.

При решении рациональных неравенств вида

где P(x) и Q(x) – многочлены, методом интервалов на числовую ось наносятся точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Далее на полученных интервалах расставляются знаки, которые определяются или непосредственными вычислениями в удобных точках, взятых внутри этих интервалов, или в соответствии с правилом расстановки знаков и выписывается ответ. В частности, если P(x) и Q(x) не
в любом интервале, а в остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Пример.

Решить неравенство:

Решение: Данное неравенство равносильно таким неравенствам:

Применяя метод интервалов, получим

Точка (−2) не входит в область допустимых значений. Такие точки иногда называют "выколотыми" – на чертеже они не закрашиваются.

вернуться на страницу "Математика"

вверх