Наша школаУченикуУчителюШкольные новости

   


11 класс

Материалы к зачетной работе по теме "Тела вращения"

Цилиндр.

Определение: круговым цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Сами круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.
По свойствам параллельного переноса имеем: основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны.

 Определение: цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Радиус оснований цилиндра называется радиусом цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований цилиндра называется высотой цилиндра. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра. Боковой поверхностью цилиндра называется поверхность, составленная из его образующих.

Теорема: площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

Рассмотрим сечения прямого кругового цилиндра различными плоскостями: осевым сечением называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, оно представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие цилиндра, а две другие стороны — диаметры оснований цилиндра.
В сечении также может получиться круг, если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра.

Примеры:
1. Запаянная с двух концов водосточная труба имеет форму цилиндра.
2. При сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, первоначальный цилиндр распадается на два цилиндра, радиусы которых равны радиусу первоначального цилиндра.
3. Если боковую поверхность прямого кругового цилиндра разрезать по одной из образующих, то в развертке получится прямоугольник.


Конус.

Определение: тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания, называется круговым конусом.
Образующие конуса — отрезки, соединяющие вершину конуса Р с точками окружности основания.
Высота конуса h — перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, является высотой конуса.
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Боковая поверхность конуса — поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности, лежащей в основании конуса, с вершиной конуса.

Теорема: площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Примеры:
1. Морковь и сосулька имеют форму, близкую к форме конуса.
2. Если боковую поверхность прямого кругового конуса разрезать по одной из его образующих, то в развертке получится сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса.
3. При вращении прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов получается прямой круговой конус.


Сечением прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны — образующие конуса. Частным случаем является осевое сечение — сечение, проходящее через ось конуса. Если секущая плоскости перпендикулярна оси конуса, т.е. параллельна плоскости основания конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром на оси конуса.

Сфера и шар.

Определение: поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называется сферой. Центр сферы — данная точка; радиус сферы — данное расстояние; диаметр сферы — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящей через ее центр.
Определение: тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Любое сечение шара плоскостью является кругом, а центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Большим кругом называется сечение шара диаметральной плоскостью — плоскостью, проходящей через центр шара.
Теорема: площадь S сферы радиуса R вычисляется по формуле:

.

Примеры:
1. Земля и глобус имеют форму, близкую к шару.
2. Если рассмотреть сечение Земли плоскостью, проходящей через экватор, то вся Земля разобьется на два полушария: северное и южное.
3. Баскетбольные, теннисные, футбольные, волейбольные мячи имеют форму шара.


 

 


© Александр Коваль
2004-2016
Яндекс.Метрика