11 класс

Материалы к зачету по теме
"Применение производной в исследовании функций"

Исследовать функцию построить ее график.

Решение:

1. Областью определения функции является вся числовая ось D(y) = R.
2. Функция является четной, т.к. y(–x) = y(x).
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Приравняем правую часть функции к нулю и найдем корни полученного уравнения:

таким образом, график функции пересекает ось х в трех точках:

4. Найдем производную функции и ее критические точки:

.

В трех точках x = –1, x = 0, x = 1, производная обращается в нуль. Эти точки разбивают ось абсцисс на 4 части:

5. Найдем промежутки знакопостоянства (монотонности) функции, и экстремумы (критические точки) функции. На интервале производная функции отрицательна, на интервале производная положительна, на интервале отрицательна и на интервале положительна.

Следовательно, функция y на интервале убывает, на интервале возрастает, на интервале убывает и на интервале возрастает.
Поэтому в точках x = –1 и x = +1 функция принимает минимальные значения y = –1.
Точка x = 0 есть точка максимума, где y = 0. Составим таблицу:

x		–1		0		1
	–	0	+	0	–	0	+
y	убывает	–1 min	возрастает	0 max	убывает	–1 min	возрастает

6. Строим график функции, используя полученные результаты

Перейти на страницы: Математика  • Справочник

вверх